สมการเชิงเส้น คือ
สมการที่แต่ละ
พจน์มีเพียง
ค่าคงตัว หรือเป็น
ผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับ
ตัวแปรยกกำลัง
หนึ่ง ซึ่งจะมี
ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาด
กราฟของฟังก์ชันบน
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็น
เส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร
x และ
y คือ
-
โดยที่
m คือค่าคงตัวที่แสดง
ความชันหรือ
เกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์
b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน
y สำหรับสมการที่มีพจน์
x2,
y1/3,
xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น
ตัวอย่าง
สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น
-
-
-
รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ
สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของ
พีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้
อักษรตัวใหญ่ใช้แทน
ค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่
x และ
y คือตัวแปร
รูปแบบทั่วไป
-
เมื่อ
A กับ
B ไม่เป็น
ศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้
A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ
A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน
x จะอยู่ที่ระยะ −
C/
A และเมื่อ
B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน
y จะอยู่ที่ระยะ −
C/
B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −
A/
B
รูปแบบมาตรฐาน
-
เมื่อ
A และ
B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง
A,
B,
C จะต้องเป็น
จำนวนเต็มที่มี
ตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้
A ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก
รูปแบบความชันและระยะตัดแกน
-
เมื่อ
m แทนความชันของเส้นตรง และ
b คือระยะตัดแกน
y ซึ่งเป็น
พิกัด y ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน
y ถ้าหากให้ค่า
x = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ
y =
b
รูปแบบจุดและความชัน
-
เมื่อ
m คือความชันของเส้นตรงและ (
x1,
y1) คือ
จุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน
x และแกน
y โดยมีจุด (
x1,
y1) เป็นจุดยืน
ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้
-
แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก
x =
x1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย
รูปแบบระยะตัดแกน
-
เมื่อ
E และ
F ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน
x เท่ากับ
E และระยะตัดแกน
y เท่ากับ
F รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้
A = 1/
E,
B = 1/
F และ
C = 1
รูปแบบจุดสองจุด
-
เมื่อ
p ≠
h กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (
h,
k) และจุด (
p,
q) โดยมีความชันเท่ากับ
m = (
q −
k) / (
p −
h) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ
m
รูปแบบอิงพารามิเตอร์
-
รูปแบบนี้เป็น
สมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์
t ที่มีความชัน
m =
V/
T โดยมีระยะตัดแกน
x อยู่ที่ (
VU−
WT) /
V และระยะตัดแกน
y อยู่ที่ (
WT−
VU) /
T
สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ
T =
p−
h,
U =
h,
V =
q−
k, และ
W =
k จะได้
-
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ
t จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (
h,
k) ไปยัง 1 ที่จุด (
p,
q) ค่าของ
t ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิด
การประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ
t จะทำให้เกิด
การประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)
รูปแบบเส้นแนวฉาก
-
เมื่อ
φ คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ
p คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของ
ส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับ
จุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหาร
สัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย
และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า
รูปแบบมาตรฐานเฮสส์ ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)
กรณีพิเศษ
-
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ
A = 0 และ
B = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน
m = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน
y เท่ากับ
F ถ้า
F ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน
x แต่ถ้า
F = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน
x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
-
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ
A = 1 และ
B = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน
x เท่ากับ
E ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า
E ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน
y แต่ถ้า
E = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน
y เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
-
- และ
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็น
เอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ
xy) ดังตัวอย่าง
2x + 4y = 2(x + 2y) นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ
x และ
y จะเป็นค่าใด
โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ
1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น
สมการที่ขัดแย้งกัน หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ
x และ
y จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้
3x + 2 = 3x − 5
สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร
n ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
-
ซึ่ง
a1,a2,...,an เป็นสัมประสิทธิ์
x1,x2,...,xn คือตัวแปร และ
b คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่
x1,x2,x3 ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น
x,y,z ได้ตามต้องการ
สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอ
ระนาบเกิน n–1 มิติ (hyperplane) ใน
ปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น