noojennaka

วันศุกร์ที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2555

ห.ร.ม.

ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (อังกฤษ: greatest common divisor: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว
ตัวหารร่วมมากของ a และ b เขียนแทนด้วย gcd (a, b) หรือบางครั้งเขียนว่า (a, b) เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้

${42\over56}={3\cdot14\over4\cdot14}={3\over4}$

ซึ่งเราตัดตัวหารร่วมมากของ 42 และ 56 คือ 14 ออก

เนื้อหา

[ซ่อน]

การหา ห.ร.ม.

การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·3² และ 84 = 2²·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป
วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ อัลกอริทึมของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.

คุณสมบัติ

     ตัวหารร่วมของ a และ b จะเป็นตัวหารของ gcd (a, b)
     gcd (a, b) เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก d ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป d = a·p + b·q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็ม จำนวน p และ q สามารถคำนวณได้จากอัลกอริทึมของยุคลิดเพิ่มเติม
       ถ้า a หาร b·c ลงตัว และ gcd (a, b) = d แล้ว a/d หาร c ลงตัว
       ถ้า m เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (m·a, m·b) = m·gcd (a, b) และ gcd (a + m·b, b) = gcd (a, b) ถ้า m เป็นตัวหารร่วมของ a และ b แล้ว gcd (a/m, b/m) = gcd (a, b) /m
ห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า a₁ และ a₂ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (a₁·a₂, b) = gcd (a₁, b) ·gcd (a₂, b)
ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่
gcd (a, b) นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm (a, b) : จะได้ว่า

gcd (a, b) ·lcm (a, b) = a·b.

สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง:

gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b) , gcd (a, c))

lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b) , lcm (a, c)).

การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd (a, b) สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (a, b) โดยที่ไม่นับจุด (0, 0)

ห.ร.ม. ในริงสลับที่

ห.ร.ม. สามารถนิยามให้กว้างขึ้นสำหรับสมาชิกของริงสลับที่
ถ้า R เป็นริงสลับที่ และให้ a และ b อยู่ใน R จะเรียกสมาชิก d ที่อยู่ใน R ว่า ตัวหารร่วมของ a และ b ถ้ามันหาร a และ b ลงตัว (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิก x และ y ใน R ที่ทำให้ d·x = a และ d·y = b) ถ้า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b และตัวหารร่วมทุกตัวของ a และ b หาร d ลงตัว จะเรียก d ว่าเป็น ตัวหารร่วมมากของ a และ b
สังเกตว่าจากนิยามนี้ สมาชิก a และ b อาจมี ห.ร.ม. หลายค่า หรือไม่มี ห.ร.ม. เลย แต่ถ้า R เป็นโดเมนจำนวนเต็ม (integral domain) แล้ว ห.ร.ม. สองตัวใด ๆ ของ a และ b ต้องเป็นสมาชิก associate ถ้า R เป็นโดเมน unique factorization แล้ว สมาชิกใด ๆ สองสมาชิกจะมี ห.ร.ม. เสมอ และถ้า R เป็นโดเมนยุคลิเดียน (Euclidean domain) แล้ว อัลกอริทึมของยุคลิดสามารถปรับใช้หา ห.ร.ม. ได้
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของโดเมนจำนวนเต็มซึ่งสองสมาชิกไม่มี ห.ร.ม.

$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\quad a = 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3}) (1-\sqrt{-3}) ,\quad b = (1+\sqrt{-3}) \cdot 2$

สมาชิก $1+\sqrt{-3}$ และ

2

คือ "ตัวหารร่วม maximal" (กล่าวคือ ตัวหารร่วมใด ๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 จะ associate กับ 2 สำหรับ $1+\sqrt{-3}$ ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกัน) แต่ค่าทั้งสองนี้ไม่ associate กัน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มี ห.ร.ม. ของ a และ b

ค.ร.น.

ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. (อังกฤษ: least common multiple: lcm) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งนำไปหารด้วยจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป แล้วจะได้ผลลัพธ์ลงตัวพอดี หรือกล่าวอีกนัยนึง คือ เมื่อเรามีจำนวนตัวเลขอยู่กลุ่มหนึง เราต้องการหาจำนวนเต็มบวกใดๆที่น้อยที่สุด โดยที่ตัวเลขทุกตัวในกลุ่มสามารถหารจำนวนนี้ได้ลงตัว ประโยชน์ในการใช้ เช่น เวลาบวกเลขเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราจำเป็นต้องหา ค.ร.น ของตัวส่วนทั้งสอง เพื่อปรับเลขเศษส่วนโดยการคูณทั้งเศษและส่วน และทำเหมือนกันกับเลขเศษส่วนอีกตัวนึง เพื่อให้ตัวส่วนของจำนวนทั้งสองมีค่าเท่ากัน จึงจะสามารถบวกตัวเศษกันได้ อย่างเช่น 2/12 + 1/16 , ค.ร.น ของ 12 และ 16 = 48 เท่ากับว่า ตัวแรกต้องคูณด้วย 48/12 = 4 ทั้งเศษและส่วน และตัวที่สองต้องคูณด้วย 48/16 = 3 ทั้งเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณการบวกของเลขเศษส่วนได้ดังนี้
(2/12) * (4/4) + (1/16) * (3/3) = 8/48 + 3/48 = 11/48

เนื้อหา

[ซ่อน]

การหา ค.ร.น.

ทำได้หลายวิธี ในที่นี้จะเน้นกล่าว 3 วิธีหลักๆที่เป็นที่นิยม

วิธีที่ 1 โดยการพิจารณาพหุคูณ

เช่น เราต้องการ ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18
วิธีทำ พิจารณา พหุคูณ ของ 6,9 และ 18 ได้ดังนี้

  พหุคูณของ 6 คือ 6,12,18,24,30,36,...

 พหุคูณของ 9 คือ 9,18,27,36,45,54,...

 พหุคูณของ 18 คือ 18,36,54,72,90,...

พหุคูณร่วมของ 6,9,18 คือ 18 และ 36

พหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6,9,18 คือ 18

ดังนั้น 18 จึงเป็น ค.ร.น. ของ 6,9 และ 18

วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบ

เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210

ให้กระจายตัวประกอบออกมา

18 = 2x3x3

24 = 2x3x2x2

210 = 2x3x5x7

จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง)) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน

2x3 = 6

นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น

6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x3x2x2x5x7 = 2520

การหา ค.ร.น. จะต้องเอาเลขที่แตกต่างจากพวกมากที่สุดไว้หน้า เช่น 12 = 3x2x2

วิธีที่ 3 การหารสั้น

วิธีนี้ เป็นวิธีที่ง่าย เพราะบางครั้งการแยกตัวประกอบ ค่อนข้างจะคำนวณยาก โดยเฉพาะผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา

นำมาเขียนเรียงกัน โดยเว้นวรรคระหว่างจำนวนด้วย 18 24 210
ลองไล่เอา 2 หารดูว่าลงตัวทั้งหมดไหม ถ้าไม่ลงตัว ก็เปลี่ยนเป็น 3 ลองหารทั้งหมดดู ถ้าไม่ลงตัว ก็ลองใช้ 5 ลองหารดู โดยมีวิธีไล่ลำดับตัวเลขที่ใช้จากจำนวนเฉพาะ

 2,3,5,7,11,13,17,19,...

ทำซ้ำกับผลหารที่ได้จากข้อที่แล้ว ไปเรื่อยๆ จนไม่สามารถหารจำนวนเฉพาะมาหารได้ลงตัวอีกต่อไป
เอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

ดูตัวอย่างประกอบ

2  ) 18 24 210
   ---------------  
     9  12 105

ลอง 2 หารอีก

2  )  9   12 105
   ----------------
     4.5  6  52.5

จะเห็นว่าหารไม่ลงตัว เพราะหารได้ผลติดทศนิยม เปลี่ยนเลขเป็นจำนวนเฉพาะถัดไป ได้แก่ 3

3 ) 9 12 105

   ----------------
      3   4   35

ถึงตรงนี้ เราจะไม่สามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆเพื่อมาหารได้อีกต่อไป เราจึงนำเอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

2x3x3x4x35 = 2520

อธิบายซ้ำ : เราสามารถเขียนภาพรวมได้ดังนี้

2  ) 18 24 210
   --------------      
3  ) 9  12 105
   --------------
     3   4  35

2x3x3x4x35 = 2520
นอกจาก 2 วิธีที่แนะนำไปแล้ว ยังสามารถทำวิธีอื่นๆ อย่างเช่น ลองไล่สูตรคูณของกลุ่มตัวเลขที่เราต้องการหา แล้วหยิบตัวเลขที่น้อยที่สุดที่มีเหมือนกันในผลสูตรคูณของตัวเลขทั้งหมดนั้น
เช่นหา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยเลือกจากจำนวนที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ

จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (12*1), (12*2), (12*3),… = 12,24,36,48,60…
จำนวนนับที่มี 16 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (16*1), (16*2), (16*3),… = 16,32,48,64,80…

48 เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48

วันพุธที่ 25 มกราคม พ.ศ. 2555

ประวัติยูคลิด

ยุคลิด (อังกฤษ: Euclid) หรือ ยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่ประมาณพ.ศ. 218 ได้กล่าวถึงการหา ห.ร.ม. หรือ ตัวหารร่วมมาก ของจำนวนนับ 2 จำนวนที่มีค่ามากอย่างรวดเร็ว ในปัจจุบันเรียกว่า ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด
หลักฐานและเรื่องราวเกี่ยวกับตัวยูคลิดยังคงสับสน เพราะมีผู้เขียนไว้หลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The Elements ยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้ จากหลักฐานที่สับสนทำให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกับยูคลิดมีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็นบุคคลที่เขียนเรื่อง The Element หรือยูคลิดเป็นหัวหน้าทีมนักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อเล็กซานเดรีย และได้ช่วยกันเขียนเรื่อง The Elements อย่างไรก็ดีส่วนใหญ่ก็มั่นใจว่ายูคลิดมีตัวตนจริง และเป็นปราชญ์อัจฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตในยุคกว่า 2,000 ปี
ผลงาน The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีตัวเลข เล่ม 10 เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจำนวนอตรรกยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวข้องกับเรื่องราว รูปเรขาคณิตทรงตัน และปิดท้ายด้วยการกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม และข้อพิสูจน์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม
ผลงานของยูคลิดเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาก และกล่าวกันว่าผลงาน The Elements เป็นผลงานที่ต่อเนื่อง และดำเนินมาก่อนแล้วในเรื่องผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น ทาลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และพีธากอรัส อย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนังสือนี้เป็นที่เชื่อกันว่าเป็นบทพิสูจน์และผลงานของยูคลิดเอง ผลงานของยูคลิดที่ได้รับการนำมาจัดทำใหม่ และตีพิมพ์เผยแพร่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1482 หลังจากนั้นมีผู้นำมาตีพิมพ์อีกมากมายนับจำนวนครั้งไม่ถ้วน

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน

i

ซึ่งทำให้สมการ

i 2 + 1 = 0

เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน

z

ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป

x + i y

โดยที่

x

และ

y

เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก

x

และ

y

ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ

z

ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb{C}$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น
นิยาม

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $\mathbb{C}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ

(a, b)

ทั้งหมดโดยที่

a

และ

b

เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ

+

(การบวก) และ $\cdot$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้

(a, b)

และ

(c, d)

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

$(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \,$

$(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \,$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
มีเอกลักษณ์การบวกคือ $(0,0)$
มีเอกลักษณ์การคูณคือ $(1,0)$
อินเวอร์สการบวกของ $z = (a, b)$ (เขียนแทนด้วย $- z$ ) คือ (-a,-b)
ถ้าหาก $z = (a,b) \neq (0,0)$ อินเวอร์สการคูณของ $z$ (เขียนแทนด้วย $z - 1$ ) คือ $\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

$c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \,$ เมื่อ

c

เป็นจำนวนจริงและ

(a, b)

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์

(1,0)

และ

(0,1)

กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

$(a,b) = a(1,0) + b(0,1) \,$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ

(a,0) = a (1,0)

ว่าเป็นจำนวนจริง

a

(ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์

i

แทน

(0,1)

จำนวนเชิงซ้อน

(a, b)

จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า

a + b i

ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า

i 2 = ( - 1,0) = - 1

นั่นคือ

i

เป็นคำตอบของสมการ

x 2 + 1 = 0

ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม

x 2 + 1

อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม $\mathbb{R}[x]$ กับไอดีล

(x 2 + 1)

เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า $z = a+bi \,$ เราเรียก

a

ว่า ส่วนจริง ของ

z

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Re(z)$ และเราเรียก

b

ว่า ส่วนจินตภาพ ของ

z

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Im(z)$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า $z=a+bi\,$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ

z

คือ $a-bi\,$ เราเขียนแทนสังยุคของ

z

ด้วย $\bar{z}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

$\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
$\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}$
$z + \bar{z} = 2\Re(z)$
$z - \bar{z} = 2\Im(z)$

เมื่อ

z

z 1

z 2

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi \,$ เขียนแทนด้วย

| z |

คือจำนวนจริงบวก $\sqrt{a^2 + b^2}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

$\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert$
$\left|z\right\vert^2=z \bar{z}$
$\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert$
$\left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert$ (อสมการสามเหลี่ยม)
$\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|$
$\left|z\right\vert=0$ ก็ต่อเมื่อ $z=0\,$

เมื่อ

z

z 1

, และ

z 2

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง

a

ด้วยจำนวนเชิงซ้อน

(a,0)

ทำให้เราได้ว่าถ้า $z \neq 0$

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน $z = a+bi \,$ คือ

(a, b)

ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ $(r,\varphi) \,$ เมื่อ

r = | z |

และ $\varphi \,$ เป็นมุมที่เวกเตอร์

(a, b)

ทำกับแกน

x

ในหน่วยเรเดียน เราเรียก $\varphi \,$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ

z

และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

arg(z)

สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ

2π

จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

$z = a+bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\,$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$

และ

$\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$

เมื่อ $r_2 \neq 0$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ
การคูณด้วย

i = e i π / 2

จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ

i 2 = - 1

ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์

(0,1)

ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"

สมบัติต่างๆ

การเรียงลำดับ

$\mathbb{C}$ ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น $\mathbb{C}$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน $\mathbb{R}$ เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{R}$ ( $\mathbb{R}$ -linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

$f(z) = az + b\bar{z}$

เมื่อ

a

และ

b

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน

f 1 (z) = a (z)

เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน $f_2(z) = b\bar{z}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า

f 1

เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{C}$ และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ

f 2

ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

$\mathbb{C}$ (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ

C

) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

มีแคแรกเทอริสติก 0
มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ $\mathbb{C}$ จึงมีฟีลด์ย่อย แท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ $\mathbb{C}$ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง