สมการกำลังสอง

        ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

         เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

 สูตรกำลังสอง

     สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

 ดิสคริมิแนนต์

ดิสคริมิแนนต์ในกรณีต่างๆ จุดที่ตัดแกน x คือรากของสมการในจำนวนจริง (ไม่เกี่ยวกับการหงายหรือคว่ำของกราฟ)

    
จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

Δ

   จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง
ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ

  

• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ

  x

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i² = −1

การแยกตัวประกอบ

     พจน์ จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง
ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

     ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น